La volta scorsa ci siamo lasciati senza dare soluzione al problema di Pacioli che sotto altra veste è identico a quello di Fermat
Riepiloghiamo i 2 problemi:
a) Frate Pacioli osserva due confratelli giocare a pallone e scommettere 50 ducati ciascuno. La posta in gioco è dunque di 100 ducati.
La gara può assomigliare a una attuale partita ai calci di rigore: chi per primo arriva a 10 goal si aggiudica la vittoria. Ma un evento esterno interrompe il gioco: l’ora di ricreazione è finita e i frati debbono rientrare in convento. La domanda di Pacioli è la seguente: come dovrà essere distribuita la posta di 100 ducati se, per esempio, la gara si è risolta col punteggio parziale di 8 a 6 ?
b) Analogo il problema di Fermat: due avversari giocano 3 partite a dadi e ciascuno ha puntato 32 Pistole. Come dovrà equamente essere ripartita la posta nel caso in cui la gara si debba interrompere, per esempio, col punteggio di 1 a 0 ?
Pacioli si dibatte a lungo sull’enigma senza mai arrivare alla dimostrazione, ma duecento anni più tardi, Fermat e Pascal trovano la soluzione definitiva appoggiandosi alle teorie numeriche e – in un certo senso magiche – di Nicolò Tartaglia matematico lombardo – 1500 1557 – (al secolo, Niccolò Fontana detto tartaglia per via di un ferimento al palato durante la guerra coi francesi a Brescia).
Entriamo nei dettagli del problema di Fermat (problema b):
I giocatori ‘A’ e ‘B’ si sfidano mettendo in palio 32 Pistole ciascuno: totale 64 Pistole (ricordiamo che, oltre ad essere un’arma da fuoco, la Pistola era anche una moneta usata a quei tempi, più o meno corrispondente al doblone spagnolo).
Il punteggio da raggiungere in questa gara è: 3.
La partita si interrompe col punteggio di 1 a 0 a favore di A.
Problema:
Come dovrò equamente dividere le 64 Pistole dopo l’interruzione della partita col punteggio di 1 a 0 ?
1° passaggio.
Il vero e proprio trucco è quello di ignorare che il torneo sia terminato prima del tempo e di procedere ugualmente con tutte le partite teoriche, per tutte le combinazioni possibili.
Ci fermeremo solo quando saranno stati esaminati tutti i casi possibili dando modo (per assurdo) di far proseguire anche il giocatore perdente (B).
Dovremo immaginare che per ogni partita possa vincere tanto A quanto B e per ognuno di questi casi dovremo annotare il punteggio relativo via via raggiunto.
Un simile ‘sviluppo di tutti i casi possibili’ viene espresso graficamente con un “albero” formato da tanti pianerottoli, il cosiddetto “albero degli eventi”.
Questo:
Come potete vedere, nell’ultima partita (la 4) ho segnato:
-in rosso le possibili vittorie di A
-in verde quelle di B
Nota: non meravigliatevi se a un certo punto il signor A si troverà ad aver conquistato la vittoria e ciò nonostante si continuerà a giocare: abbiamo detto che dobbiamo lasciare a B la possibilità teorica di vincere (anche se ha già perso) e quindi il risultato di 5 a 0 (nella partita 4) in questo contesto non risulta insensato.
La stessa osservazione vale anche per ‘B’ nella partita 3 in cui già si vede per lui il risultato vincente di 3 a 1 ma si continua ugualmente per decidere l’esito dell’ultima partita ancora ferma sul pareggio 2 a 2.
Morale: si debbono valutare tutte le combinazioni senza esclusioni.
2° passaggio.
Ora procediamo a contare i risultati rossi e quelli verdi.
Sono rispettivamente: 11 e 5. Totale: 16.
Quindi:
Su 16 casi possibili, 11 sono favorevoli ad A e 5 sono favorevoli a B.
Questa è la probabilità: si contano tutti i casi possibili (16) e si annotano quelli a favore di uno (11) e poi quelli a favore dell’altro (5).
Si conclude con la divisione: 11/16 e 5/16.
Siamo così in grado di affermare che 11/16 è la probabilità “p” a favore di A e che 5/16 è la probabilità “q” contraria ad A (per B vale ovviamente l’inverso).
Ecco la soluzione delle Pistole:
Pistole in gioco: 32+32=64
Ripartizione dopo la partita interrotta:
– A 11/16 di 64 = 44 Pistole
– B 5/16 di 64 = 20 Pistole.
3° passaggio.
Ora si pone il problema di trovare la regola per il calcolo di p e di q.
Il primo scoglio è quello di conoscere il numero delle partite da giocare per essere certi di aver esaminato tutte le combinazioni possibili.
Perché nel nostro esempio ne sono bastate proprio 4 e non 3 oppure 5?
Qual è la regola per ottenere questo numero 4?
Eh sì! Perché se ci ponessero lo stesso problema con un punteggio da raggiungere – per esempio – di 77 anziché di 3, l’affare si ingarbuglierebbe non poco e non potremmo certo metterci a disegnare un albero con infiniti rami: non basterebbero intere lavagne.
Risparmiamoci la dimostrazione e passiamo subito alla regola.
Eccola:
- Si parte dal punteggio: 1 a 0
- Si calcola quanti sono i punti mancanti alla vittoria di A: 3-1=2
- Idem per B: 3-0=3
- Si sommano i risultati e si sottrae 1. Così: 2+3-1=4 Ecco: abbiamo trovato il famoso 4 !
Quindi la regola è: “Punti mancanti ad A + Punti mancanti a B – 1”.
4° passaggio.
Ci domandiamo ora se può esistere un’altra regola per calcolare il numero delle partite dell’albero degli eventi.
In altre parole: come si ricava il numero 16 ?
Questa volta è più facile:
- I giocatori sono 2
- I pianerottoli sono 4
Bene: 2 alla quarta potenza fa 16.
Riepiloghiamo:
Il numero degli eventi possibili è dato da: 2 (i giocatori) elevato al numero dei pianerottoli (4).
5° passaggio.
Siamo quasi in fondo: sappiamo che le partite da fare sono 4 e che gli eventi possibili sono 16.
Manca il pezzo forte cioè la regola per trovare 11 (le probabilità di A) e 5 (quelle di B).
… inizia una strana magia: mettiamo per un attimo da parte le Pistole di Fermat e andiamo a trovare l’amico Tartaglia per scoprire il suo triangolo magico.
E’ un triangolo semplice, in cui ogni elemento (tranne il primo ovviamente) è sempre uguale alla somma dei due numeri che gli stanno sopra.
Osservate ora la quarta riga: 1 4 6 4 1.
Cosa ho detto? Esatto: ho detto proprio quarta (cioè 4).
Ho scelto esattamente il numero dei “pianerottoli” dell’albero.
Proviamo ora a sommare la prima parte di questa quarta riga:
1 + 4 + 6 = 11
e ora la rimanente: 4 + 1 = 5.
E’ incredibile ! abbiamo ritrovato i numeri della probabilità : p=11 e q=5 !
Ricapitoliamo: il numero 4 ci ha suggerito a quale ‘pianerottolo’ del Triangolo avremmo dovuto cercare i numeri (il 4° partendo dall’alto) e le due somme scomposte ci hanno regalato la soluzione del problema.
Convinti? Lascio a voi, adesso, la soluzione dell’Enigma di Pacioli, augurandovi un buon lavoro.
Francesco Caranti
