Bene, come promesso, vi do la soluzione del giochino. Se denominiamo P il bicchiere con dentro la pallina, e V i bicchieri vuoti, i casi possibili sono questi :
Nel momento in cui scegliamo un bicchiere, abbiamo ovviamente la probabilità di 1/3 a nostro favore di trovare la pallina. Successivamente, quando il banco scoperchia uno dei bicchieri vuoti, se il giocatore confermasse il bicchiere scelto avrebbe sì una probabilità su due che la pallina sia in uno dei bicchieri rimasti oppure no, ma rispetto allo schema di gioco iniziale non muterebbe di una virgola la sua probabilità a favore, che rimarrebbe di 1/3. Sta proprio qui il nocciolo, in quanto, così facendo, il giocatore non sfrutterebbe in alcun modo l’informazione che il banco gli offre scoperchiando uno dei bicchieri vuoti. Infatti, nel momento in cui un bicchiere vuoto viene scoperto, il banco non svela solo che la pallina non è lì, ma anche, implicitamente, che non avrebbe potuto scoperchiare l’altro, perché lì sotto c’è la pallina.
Se ad esempio il giocatore sceglie il primo bicchiere, il banco può scoperchiare indifferentemente il secondo o il terzo, mentre negli altri casi è costretto a lasciare coperto, oltre a quello scelto dal giocatore, anche quello sotto cui si trova la pallina. Nel secondo caso il banco può scoperchiare solo il terzo bicchiere perché nel secondo c’è la pallina, nel terzo caso solo il secondo, perché nel terzo c’è la pallina. Se il giocatore cambia, nel primo caso (quello in cui la scelta iniziale era giusta) perde, negli altri due vince sicuramente, quindi, se sceglie di cambiare, ha 2/3 di probabilità di vincere.
In definitiva, nel momento in cui il banco scoperchia uno dei due bicchieri vuoti, se il giocatore utilizza correttamente questa facilitazione, il quadro iniziale delle probabilità di 1/3 per il giocatore e 2/3 per il banco, viene completamente ribaltato a vantaggio del giocatore.
Cambiare bicchiere, scegliendo, al posto di quello scelto all’ inizio, l’altro rimasto sul tavolo dopo che il banco ne ha scoperchiato uno vuoto, equivale in tutto e per tutto a scegliere entrambi i bicchieri scartati all’inizio, con conseguente ribaltamento delle probabilità tra giocatore e banco !
Un altro modo di interpretare il gioco può essere questo : una volta assodato che se il giocatore non cambia bicchiere la probabilità a suo favore resta 1/3, e non sale a 1/2 (perché se non cambia è esattamente come se la seconda parte del gioco, ovvero lo scoperchiare un bicchiere vuoto da parte del banco, non fosse avvenuta!), dovendo la probabilità complessiva dei casi possibili essere 1, allora la probabilità di trovare la pallina cambiando bicchiere è necessariamente 2/3, complemento a 1 di 1/3. All’ inizio, tutti i bicchieri hanno la probabilità di 1/3 di contenere la pallina ma dopo che uno dei due vuoti viene scoperchiato, la probabilità che sotto di esso ci sia la pallina scende a zero, mentre per quello rimasto sul tavolo non scelto dal giocatore all’inizio sale a 2/3.
Non siete ancora convinti? Adesso vi tolgo di sicuro ogni residua perplessità .Seguitemi bene.
A confondere le idee al giocatore, facendogli credere che è indifferente se confermare il bicchiere scelto all’inizio oppure cambiarlo, è il fatto che sul tavolo rimangano due bicchieri e sotto uno di essi ci sia la pallina, con apparente probabilità del 50% di trovare quest’ ultima sotto ciascuno dei due. Supponiamo adesso che sul tavolo ci siano all’inizio non tre bicchieri, ma dieci: se ne scegliamo uno, abbiamo 1/10 di probabilità di trovare la pallina, e 9/10 di sbagliare. Se adesso il banco scoperchia otto bicchieri vuoti, rimangono sul tavolo due bicchieri, quello che abbiamo scelto noi, ed un altro, e in entrambi ci può essere la pallina . Se confermiamo il bicchiere scelto all’inizio, è indubbio che abbiamo comunque 9/10 di probabilità che sotto di esso la pallina non ci sia , e pertanto, se cambiamo bicchiere dopo che otto di essi dove la pallina non c’era di sicuro sono stati scoperchiati, ecco su che abbiamo 9/10 di probabilità di trovare la pallina. Concettualmente, tra scoperchiare un bicchiere vuoto tra tre bicchieri sul tavolo, o scoperchiarne otto tra dieci, non fa alcuna differenza: il giocatore, cambiando bicchiere passa comunque da una probabilità a suo favore minore del 50% al suo complemento a 1, quindi cambiare conviene sempre!
A questo punto voi che leggete vi chiederete: “ma tu ci sei riuscito a risolvere il giochino la prima volta che te l’hanno proposto?” Ebbene, lo ammetto, la risposta è no : all’inizio credevo, come molti, che confermare il bicchiere scelto o cambiare fosse del tutto indifferente. E questo nonostante io abbia una discreta dimestichezza con questi argomenti. E ciò per me fu un salutare bagno di umiltà. Mi venne da pensare: come posso sperare di guadagnare in Borsa con le Opzioni, districandomi tra centinaia di numeri, se mi perdo in tre bicchieri (oltretutto senz’ acqua…) ? E infatti perdevo, e neanche poco! Fu lì che compresi che la realtà è molto più complessa di come ce la immaginiamo, e che ogniqualvolta si presenta un problema, per risolverlo bisogna studiare veramente a fondo, e non proporre come risposta la prima banalità che ci viene in mente. Forse ancora oggi, se mi fosse proposto un gioco complesso di logica probabilistica, a risolverlo non ci riuscirei, ma quantomeno, diversamente da allora, prima di rispondere di getto proverei a studiare il problema con un po’ più di scrupolo e, comunque, non mancherei di documentarmi.
Grazie per l’attenzione, amici.
Vi aspetto per la prossima puntata.
Giangiacomo Rossi
p.s.
Il nostro amico Caranti mi ha suggerito di farmi qualche minuto di relax col gioco che ha trovato in Rete. Non costa niente e adesso ci provo anch’io. Attenzione alle vertigini, però!
