Calcolo delle probabilità – Platone, Eulero e la magia del numero 2

Trecentosessanta anni prima di Cristo, Platone di Atene, allievo di Socrate e maestro di Aristotele poneva le basi del comune pensiero filosofico occidentale.

Nel Timeo (scritto nella vecchiaia) c’è il vero dialogo platonico, quello che più ha influito sulla filosofia e sulle scienze posteriori.

In esso vengono approfonditi tre problemi principali: quello cosmologico dell’origine dell’universo, quello fisico della struttura della materia e quello della natura umana. Ai tre argomenti corrispondono altrettante parti in cui è possibile suddividere l’opera, alle quali va aggiunto il prologo.

 

Dopo il prologo, Platone considera l’esistenza di un Demiurgo cioè di un “divino artefice”, una figura che successivamente è stata paragonata a quella del nostro Dio cristiano. Compito del Demiurgo è quello di mettere ordine alla materia preesistente togliendola dal caos.

Per fare questo l’Artefice utilizza il numero, una sorta di mediatore tra la realtà che muta e la realtà eterna: e qui nasce il cosmo, in pratica, la vera Anima del Mondo. Quindi crea il tempo, immagine mobile dell’eternità e gli Astri che altro non sono se non Dèi visibili. A queste divinità Platone attribuisce il compito di forgiare quello che resta del mondo, cioè i corpi delle creature mortali in modo tale che la logica del cosmo abbia un senso compiuto e gradevole, il migliore possibile per un mondo in divenire.

 

Nella seconda sezione del Timeo, Platone si occupa dello studio dei fenomeni fisici: tuttavia, proprio perché si tratta di una realtà soggetta al divenire, le conclusioni a cui si giungerà non saranno certe ma solo probabili. Platone descrive il cosmo come composto di quattro elementi: fuoco, terra, aria e acqua.

 

I quattro elementi non sono tali nel senso originario della parola, ossia non sono il fondamento della realtà materiale, ma sono a loro volta composti di qualcosa di più basilare: i triangoli. Come sempre nel Platone della vecchiaia la matematica assume importanza fondamentale, e i triangoli vanno a costituire dei solidi così piccoli da risultare invisibili, ma che in grandi quantità appaiono come, appunto, i quattro elementi: il fuoco assimilato al tetraedro, la terra corrispondente all’esaedro ( cubo ), l’aria all’ottaedro, l’acqua all’icosaedro. Inoltre viene teorizzato un quinto solido, il dodecaedro, che funge da elemento decorativo del cosmo e la cui funzione non è ben precisata. Solo in epoche successive il discepolo Aristotele lo identificherà con l’etere, detto anche quintessenza.

 

Ecco come, a distanza di 2300 anni, l’intuito di Platone si conferma in tutta la sua validità nei cosiddetti cinque Solidi Platonici :

 

·         Tetraedro (Fuoco)

 

 

·         Esaedro (Cubo) – (Terra)

 

 

·         Ottaedro (Aria)

 

 

·         Icoesaedro (Acqua)

 

 

·         Dodecaedro (Quintessenza di Aristotele)

 

 

Avrete certamente notato che i 5 solidi platonici sono sempre e solo formati dalle stesse figure geometriche ricorrenti:

 

·         Il TETRAEDRO         da 4 triangoli

·         L’ESAEDRO             da 6 quadrati

·         L’OTTAEDRO           da 8 triangoli

·         L’ICOESAEDRO        da 20 triangoli

·         Il DODECAEDRO       da 12 pentagoni

 

Dunque le uniche figure geometriche elementari che ballano all’interno dei 5 solidi Platonici sono sempre e solo TRIANGOLI, QUADRATI e PENTAGONI.

 

Si deve al matematico illuminista svizzero Leonard Euler (ribattezzato in Italia come Eulero: Svizzera 1707 – Russia 1783) la classificazione dei 5 Solidi Platonici attraverso il teorema conosciuto col nome di caratteristica di Eulero.

Eulero si interroga in merito allo studio filosofico di Platone di duemila anni prima:

·         In che relazione numerica stanno tra loro i 5 solidi Platonici?

·         Sono realmente solo 5 o potrebbero essere ancora di più?

 

Per risolvere il problema, Eulero distingue i tre elementi che caratterizzano i solidi in:

 

·         Vertici

·         Spigoli

·         Facce

 

Tanto per capirci, consideriamo il primo solido elencato, cioè il TETRAEDRO.

Eccolo:

 

 

I Vertici sono i punti in cui le nostre dita saranno ‘pizzicate’ tutte le volte che lo tocchiamo (4 vertici)

Gli Spigoli sono i segmenti che possiamo percorrere semplicemente passando un dito (6 spigoli)

Le Facce sono le superfici visibili (4 facce).

 

Facendo lo stesso ragionamento per l’Esaedro (il volgare Cubo) otteniamo:

 

Vertici: 8

Spigoli: 12

Facce: 6

 

Sorgono spontanee le domande:

 

Semplice !!!

 

Eulero scopre ciò che Platone non aveva ancora enucleato:

Detti:

·         V i Vertici

·         S gli Spigoli

·         F le Facce

 

La relazione che li lega è la seguente: V – S + F = 2

Provare per credere:

 

Per il Tetraedro:       4-6+4 = 2

Per l’Esaedro:          8-12+6=2

Per l’Ottaedro:         6-12+8=2

Per il Dodecaedro:    20-30+12=2

Per l’Icosaedro:        12-30+20=2

 

Ma non finisce certo qui perché la prossima volta dimostreremo che i Solidi Platonici sono solo 5 e non più di 5, così come aveva ipotizzato l’ateniese con grande lungimiranza senza ancora aver avuto i mezzi per dimostrarlo.

 

Seguitici sempre in questo Sito: da Eulero passeremo a Poincarè, un altro grande della matematica che attraverso l’omeologia ci porterà verso lo studio degli spazi topologici, cioè al famoso Nastro di Moebius (e anche alla bottiglia di Klein) che, ve l’assicuro, ci faranno veramente aguzzare l’ingegno.

 

A presto, sempre su www.francescocaranti.com.