Calcolo delle probabilità – RF13 – Il mistero del Chuck A Luck: l’illusione delle scommesse

Maggio 5, 2017

I Casinò si sono attrezzati e oggi abbiamo molte versioni di gioco: Numbers, Field, High, Low Bet…

Che cosa ci sia in comune tra il gioco del Cavalier de Mere del lontano ‘600 e un ben più moderno Chuck a Luck di un Luna Park di Cincinnati è presto detto. Stiamo parlando dell’illusione della scommessa, qualcosa che “sembra nell’apparenza” ma che “non è nella sostanza”.

Nei ragionamenti del calcolo della probabilità è molto facile prendere strade sbagliate, ecco perché i passaggi vanno soppesati con tantissima attenzione.

Se ritorniamo al contributo della volta scorsa, possiamo ricordare che il Cavalier de Méré aveva dato una soluzione viziosa alle sue due scommesse (quella con un dado e quella coi due dadi) al punto di concludere che le probabilità dei due giochi fossero uguali.

Ecco il suo ragionamento: “L’uscita di un 6 lanciando quattro volte dovrebbe avere la stessa probabilità di ottenere almeno una coppia di 6 lanciando per 24 volte una coppia di dadi perché se la probabilità di fare 6 con un solo dado è 1/6, con quattro dadi sarà 4 x (1/6) = 2/3. Una coppia di 6 nel lancio di due dadi ha probabilità 1/36. Ripetendo per 24 volte il lancio di due dadi avrò 24 x (1/36) = 2/3. Quindi la probabilità dei due eventi è perfettamente identica”.

Niente di più falso! Il Cavaliere aveva commesso un errore: quello di sommare 4 volte o 24 volte la probabilità di un singolo evento, come se si trattasse di eventi incompatibili. Ma non è così perché l’uscita di un 6 o di una coppia di 6 in un lancio non è incompatibile con le successive uscite del 6 o della coppia di 6 nei lanci successivi.

Anche con il Chuck a Luck è facile imbrogliarsi con un ragionamento vizioso ricascando nel tranello dell’illusione.

Ecco la conclusione errata a cui si può arrivare “ … siccome la tripletta vince 3 volte e la doppietta vince 2 volte, allora posso dire che la situazione è sostanzialmente in equilibrio per quanto riguarda il denaro in gioco. In altre parole: se punto 1 € ogni giocata per 216 volte e supponendo di avere 216 risultati diversi, dovrò per forza finire in parità …”.

La sequenza logica non corretta è questa:

La tripletta vince 1 volta su 216 ma paga il triplo: 3 x 1 = 3
La doppietta vince 15 volte su 216 ma paga il doppio: 15 x 2 = 30
La vincita singola vince 75 volte su 216 e paga alla pari: 1 x 75 = 75

Se sommo: 3 + 30 + 75 ottengo 108 che è proprio la metà delle possibili combinazioni delle facce dei tre dadi.

Seguendo questo ragionamento possiamo concludere che il Chuck A Luck è un gioco onesto (cioè alla pari) e che quindi valga la pena sfidare la sorte: acchiappare la fortuna, per l’appunto.

Dunque la soluzione giusta è un’altra, quella data la volta scorsa.

Rivediamola:

1. Gli eventi possibili sono 6 (le facce di ciascun dado) elevato alla 3 (il numero dei dadi). Ovvero: 216

2. La tripletta (quella che fa vincere 3 volte la posta) è un caso isolato: 1 / 216

3. Per la doppietta (vincita del doppio della posta) i casi possibili (supponendo che la puntata sia sul numero 5) sono quelli di ciascuna delle tre forme:

§ 5-5-x

§ 5-x-5

§ x-5-5

che, per ogni dado, si può verificare in 5 modi diversi.

Quindi la doppietta si può verificare 15 volte.

4. Per la vincita singola (vincita di una posta) i casi possibili sono quelli delle tre forme:

§ 5-x-y

§ x-5-y

§ x-y-5

che si può verificare in 5 “alla seconda” = 25 modi per 3 volte: quindi in 75 casi.

Riassumiamo:

· 1 / 216 per la tripletta

· 15 / 216 per la doppietta

· 75 / 216 per la vincita singola

Il totale delle vincite risulta di: 1 + 15 + 75 = 91 casi possibili su 216

I casi di sconfitta sono, ovviamente, dati dalla differenza: 216 – 91 = 125.

Altro che gioco alla pari! Gli eventi favorevoli sono 91/216, quelli contrari sono 125/216. Rapportando a cento abbiamo: p=42,13% q=57,87%.

Nel ragionamento sbagliato, ciò che ha tratto in inganno è stato proprio il valore 108 (l’esatta metà di 216) e questo ancora una volta spiega il fascino intuitivo che il Chuck A Luck esercita sullo scommettitore.

Ma che dire? Sulle prime il Chuck A Luck pare un gioco onesto, anzi, favorevole e forse è questo il motivo per cui è così amato e diffuso negli USA, talmente diffuso da essere presente anche nella versione elettronica di molte Slot Machines.