La probabilità che una meteorite colpisca uno di noi in un Paese 11 volte più popolato dell’Italia è la stessa di vincere al Superenalotto: 1/622.614.630
Disporre, permutare, combinare: tre verbi molto simili in italiano ma dal significato ambiguo nel linguaggio del Calcolo Combinatorio.
Per evitare confusione è bene iniziare con tre esempi a portata di mano tratti dalla vita di tutti i giorni e quindi rispondere a queste domande:
- · In quanti modi si può assegnare il Medagliere (oro, argento, bronzo) in una gara con 10 concorrenti?
- · In quanti modi è possibile scrivere la parola “AMO” spostando le lettere volta per volta?
- · In quanti casi è possibile ottenere il 6 al Superenalotto?
1. Con 10 concorrenti è possibile DISPORRE le tre medaglie in 10 x 9 x 8 = 720 modi diversi. Ciò significa che, ponendo allo stesso livello di capacità ciascun concorrente, le possibili distribuzioni dei premi sono 720
Le sequenze di ‘lunghezza 3” che si possono ottenere con 10 oggetti si ricava moltiplicando questo numero per i 3 successivamente inferiori a rispetto della formula:
D n,k = n * (n-1) * (n-2) … (n-k+1)
Provate anche voi a divertirvi cambiando il numero dei concorrenti (10) e del medagliere (3) con altri valori a vostra discrezione!
2. La parola “AMO” si può PERMUTARE in 6 modi diversi:
AMO AOM MAO MOA OMA OAM.
La permutazione risponde a questa formula:
P n = n !
Cioè: il numero delle Permutazioni di n oggetti corrisponde al fattoriale di n (dizione: n!), ovvero al prodotto di tutti i numeri inferiori fino a 1.
Nel nostro caso: 3 x 2 x 1 = 6.
3. Per quanto riguarda la probabilità del Superenalotto, data la popolarità di questo Gioco, è bene fare un po’ di chiarezza.
Convenzionalmente, il martedì, giovedì e il sabato, in dieci città italiane vengono estratti 5 numeri da altrettante urne regolari che ne contengono 90.
Nel contesto di questo gioco è importante fissare l’attenzione sul 1° estratto delle seguenti 6 città:
· Bari
· Firenze
· Milano
· Napoli
· Palermo
· Roma
Per semplificare, supponiamo dunque che il numero 1° estratto sia rispettivamente:
· 1 a Bari
· 2 a Firenze
· 3 a Milano
· 4 a Napoli
· 5 a Palermo
· 6 a Roma
Vince chi “azzecca” questa sestina (l’ordine degli estratti non è rilevante: basta “solo” indovinarli tutti).
Ci chiediamo ora quale potrà essere la Probabilità di: 1,2,3,4,5,6 in questa pletora di numeri.
In questo caso la regola sottesa è quella delle COMBINAZIONI che si esprime in questo modo:
Combinazioni = Disposizioni diviso Permutazioni.
Cominciamo dalle Disposizioni:
Dei 90 numeri sulle 6 città campione, le Disposizioni sono:
90 x 89 x 88 x 87 x 86 x 85 = 448.282.533.600.
Le Permutazioni di 6 numeri sono invece: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720.
Il rapporto diventa: 622.614.630.
Ciò significa che la Probabilità di ottenere 6 al Superenalotto è di 1/622.614.630.
Proviamo ora a riflettere in termini di “probabilità negativa” partendo dal dato statistico secondo cui gli abitanti in Italia sono circa 57.000.000.
Supponiamo ora di avere una Grande Nazione popolata 10,92 volte più dell’Italia.
Se così fosse avremmo un grande paese con circa 622 milioni di abitanti.
In questa abitatissima Italia dobbiamo ora immaginare la caduta di una piccola e anomala meteorite in grado di colpire uno e uno solo di noi (quello che avrà la sorte avversa di vedersela cadere proprio sulla testa).
Ebbene: la probabilità che questa meteorite finisca sulla nostra testa in questo immaginario e popoloso paese è proprio uguale a quella del Superenalotto: 1/622.614.630.
Che delusione !!! Capite quanto sia impossibile vincere !!!
Ma per la teoria dell’utilità attesa della volta scorsa (Paradosso di San Pietroburgo) se ci pensiamo bene, è più sensato puntare 1 Euro al Superenalotto piuttosto che affrontare i lanci ripetuti sul Rosso della Roulette.
L’aspettativa (per quanto remota) di trasformare la nostra esistenza pagando una somma insignificante per le nostre tasche è molto più logica di quella di sperare di arricchirsi con Giochi in cui l’utilità marginale non ripaga il Rischio.
Attenzione però: nel Superenalotto il gioco ha senso solamente per puntate piccole e dunque irrisorie rispetto alle nostre capacità finanziarie: diventa irrazionale quando la puntata aumenta a dismisura nella speranza di stravolgere la probabilità.
Infatti, per quanto si aumentino le puntate, la probabilità di trasformare 1 caso su 622.614.630 in certezza, si dimostra un ragionamento strampalato.
Anche il Gioco del Lotto (da cui ha preso origine quello del Superenalotto) dimostra ampiamente i propri limiti di equità: basti pensare che il premio pagato per la sorte dell’Ambo è talmente inferiore alle aspettative probabilistiche da dover preferire, per assurdo, perfino il Chuck a Luck.
Infatti le Combinazioni dell’ Ambo sono: 90 x 89 / 2 = 4005.
Poiché i numeri estratti sono 5 e con essi si formano 10 Ambi (5 x 4 / 2), la probabilità attesa è p = 1 / 400,5 (cioè 4005 / 10 = 400,5).
Chiunque si aspetti di risultare vincitore giocando sull’Ambo rimarrà deluso dopo che avrà saputo che il Banco paga 250 volte la Posta anziché 400,5.
Nota:
Dal 2005 le regole del Gioco del Lotto hanno subito qualche piccola variazione tramite l’aumento dei moltiplicatori di vincita:
Terno: da 4.250 a 4.500 volte la posta
Quaterna: da 80.000 a 120.000
Cinquina: da 1.000.000 a 6.000.000.
I moltiplicatori delle vincite per l’Estratto e per l’Ambo sono rimasti invariati e continuano ad essere pagati rispettivamente 11,232 e 250 volte la posta.
Viene fissata al 6% la ritenuta sulle vincite.
Ecco così che anche per il Lotto, il Paradosso di San Pietroburgo ci insegna che “il gioco non vale la candela”.
L’unica ragione in grado di sostenerne l’utilità è quella di avere in contropartita un Banco talmente “solido” da reggere un ipotetico esborso di 6.000.000 di volte la Posta nel caso (per quanto molto improbabile) di realizzare una Cinquina.
Ma sul tema dell’Equità torneremo ancora la prossima volta … vi aspetto.
Francesco Caranti
