“ecco come arrivo ad una valutazione equa se due avversari giocano fino a 3 partite e ciascuno ha puntato 32 Pistole” – dalla corrispondenza tra Pascal e Fermat del luglio 1654
Se l’enigma di Frate Pacioli vi ha creato qualche difficoltà, state sereni, perché centocinquantanni più tardi il problema non era ancora stato risolto.
Come già vi avevo anticipato, al posto di una partita a palla tra due frati all’ora di ricreazione, nella Francia dell’Illuminismo veniva riproposto lo stesso problema tra due Nobili di rango che scommettevano uno scambio di Pistole (moneta in uso all’epoca) in una partita a dadi interrotta dal fattore tempo.
Due secoli prima, il frate toscano, suo malgrado, si era portato nella tomba l’enigma dei 50 ducati scommessi dai confratelli e per quanto avesse abilmente argomentato alcune ipotesi di probabilità con il contemporaneo Cardano, non aveva saputo offrire una soluzione convincente.
Il problema delle Pistole di Pascal e Fermat è considerato la pietra miliare del Calcolo delle Probabilità.
Pare proprio che il nobile francese Pierre Fermat (1601-1665) giurista, matematico e notaio abbia lasciato un segno nella storia e debba essere ricordato come l’alba e il tramonto dei teoremi: alba in quanto risolutore del ‘Problema delle Poste di Pacioli’ e tramonto poiché propose un problema ben più complesso noto come ‘L’ultimo teorema di Fermat’ la cui soluzione è arrivata solo di recente.
Ma andiamo a rovescio e partiamo dalla fine.
Nel 1637 Fermat si era accorto dell’esistenza di alcuni numeri naturali interi (cioè senza decimali) che rispondevano alla logica del teorema di Pitagora: se consideriamo il numero 3 e il numero 4, ci accorgiamo che la somma dei loro quadrati riproduce esattamente il quadrato di un altro numero intero senza decimali, cioè il 5.
Infatti: 32 + 42 = 52 cioè (9 + 16 = 25).
Dal teorema di Pitagora vediamo:
Anche 62 + 82 = 102 cioè: (36 + 64 = 100) soddisfa la stessa condizione.
Questi ‘quadrati perfetti’ non sono poi tanti e se volete potrete facilmente trovarli con un foglio Excel.
Se però tentiamo di estendere questa regola aumentando il valore della potenza dal quadrato al cubo, rimaniamo perplessi: non esiste alcuna coppia di numeri interi che sommati tra loro al cubo diano come risultato il cubo ‘esatto’ di un altro numero intero (attenzione: la chiave del problema è che il numero non abbia decimali).
L’ultima speranza è stata riposta – invano – nella somma dei cubi di 9 e di 10 ma … per un punto Martin perse la cappa … poiché 93 + 103 = 1729 si distacca di una sola unità da 123 = 1728.
Se poi l’esperimento venisse tentato con potenze superiori a 3, l’esito risulterebbe ancora negativo.
Morale: la potenza 2 è l’unica a giustificare il teorema di Pitagora per i numeri interi.
La dimostrazione del problema, per quanto Fermat avesse più volte sostenuto di averla scoperta personalmente, fu trovata solo di recente da Andrew Wiles (1995) e gli valse il riconoscimento della ‘Medaglia Fields’ (l’equivalente del Nobel per la matematica) che, come forse saprete, può essere elargito solo a letteratura, fisica, chimica, medicina, economia e pace.
Nota:
Il Nobel per la matematica non esiste poiché si dice che Alfred Nobel, per quanto inventore della dinamite, non si fosse dimostrato altrettanto “esplosivo” nei confronti della moglie la quale, per consolarsi, si era rivolta agli affetti dello svedese Gösta Mittag, di professione Matematico.
Logica e naturale, dunque, la reazione di Alfred Nobel di impedire il massimo Riconoscimento Scientifico a chiunque, per quanto casto e innocente, si fosse distinto nelle scoperte matematiche.
Per ovviare a questa mancanza fu istituita la Medaglia Fields (dal matematico canadese John Charles Fields) anche se il corrispondente premio in denaro risulta tuttora molto inferiore. Per una sottile logica di compensazione, comunque, su una faccia della moneta elargita in premio è impressa l’effige di Archimede che, assieme a Newton e Gauss, costituisce la Summa assoluta, ovvero la Matematicissima Trinità.
Il quesito di Pacioli e l’omologo problema delle poste di Fermat, per oggi restano ancora un enigma irrisolto.
La prossima volta definiremo i coefficienti ‘p’ e ‘q’ della probabilità che ci consentiranno di sapere quanti dovessero essere i ducati (e le Pistole) delle partite interrotte.
Francesco Caranti
