... per quanto le teorie di Pascal siano tuttora riconosciute, del grande Matematico si ricorda una vita contrassegnata da alterne fasi di genialità e di disperazione...

La probabilità geometrica del Triangolo di Tartaglia o, al contrario, la geometria probabilistica dei numeri magici è stata individuata più volte nella storia della matematica.

A Omar Khayyam (Persia 1048 – 1131) pare spetti la scoperta originale, al cinese Chu-Shih-Chieh (nel 1300) una prima rivisitazione e l’attributo magico di prezioso specchio dei quattro elementi, a Tartaglia l’evoluzione in campo algebrico e infine a Blaise Pascal la vera e propria applicazione in campo probabilistico.

Al di là di vane ricerche sulla paternità del Triangolo (noto anche come Triangolo di Pascal), qualcosa di veramente magico esiste in questa sequenza di numeri che, oltre alla classica configurazione ‘a piramide’ può essere espressa, per una migliore lettura, anche nella disposizione triangolare:

Vediamo altre applicazioni:

• I coefficienti dello sviluppo delle potenze di un binomio sono rintracciabili nelle righe del triangolo:   

(a + b)³ = 1a³ + 3 a²b + 3 ab² + 1b³  (ovvero: 1, 3, 3, 1: la quarta riga dall’alto)

• Quando nella seconda colonna del triangolo compare un numero “primo”, e solo in questo caso, tutti i termini della riga corrispondente, tranne il primo e l'ultimo, sono multipli di tale numero. Ad esempio, nella ottava riga dall’alto (1,7,21,35 …) , a parte l'1 iniziale e quello finale, tutti i termini sono multipli di 7

• La probabilità:
  • Di avere un maschio o una femmina in una famiglia che sta programmando di avere un unico figlio è la riga 1 1 che si traduce in 50 probabilità di avere un maschio e 50 di avere una femmina.
  • Di ottenere Testa (o Croce) dopo il lancio di una moneta è ancora del 50%.
  • Di avere due maschi, oppure due femmine oppure un maschio e una femmina per la programmazione di due figli va ricercata nella terza riga di Tartaglia "1 2 1" ovvero: Maschio Maschio, Maschio Femmina, Femmina Maschio e Femmina Femmina il che significa che la probabilità di avere due figli dello stesso sesso è del 25%, mentre quella di averli di sesso diverso è del 50%.
• Di ottenere Doppia Testa (o doppia Croce) dopo il lancio di due moneta è del 25%.
• Il problema delle partite interrotte di Pacioli (la Balla dei 100 ducati) e delle Pistole di Fermat trovano ancora soluzione nel Triangolo.

Per quanto le intuizioni e le teorie di Pascal siano tuttora ampiamente riconosciute, del grande matematico francese si ricorda una vita contrassegnata da alterne fasi di genialità e di depressione. Pascal soffriva di disturbi bipolari e per questo alternava momenti di esaltazione, genialità e dissolutezza ad altrettante fasi di misticismo, fobia e disperazione.

E proprio durante una profonda e conturbante crisi mistica all’interno di un convento giansenista, si preoccupò di dimostrare matematicamente quale fosse la convenienza di riporre – o non riporre – la fede in Dio Onnipotente.

Il Gioco denominato “Scommessa di Dio” ha ovviamente incuriosito i pensatori, i matematici e i religiosi del Seicento e ancora si conferma come una valida disquisizione tra esperti.

Vediamo: nel 1660 Pascal affermava che, da un punto di vista probabilistico, era nettamente più conveniente credere all’esistenza di Dio piuttosto che non crederci affatto.

Questa dimostrazione può essere più o meno condivisa a seconda di quanto la religione, la fede nei numeri e, specialmente, il senso dello humor ce lo possano permettere.

Definiamo con:

• “p” la probabilità di un evento
• “U” l’Utilità che deriva dalle vari scelte

e vediamo tutti i casi (Credo, Non credo, Dio esiste, Dio non esiste) in questa tabella

• Non avendo alcun indizio sull’esistenza di Dio possiamo subito dire che la probabilità ‘p’ che Dio esista è pari alla probabilità che non esista. Quindi avremo sempre p = ½
• L’Utilità è infinita nel caso “Credo / Dio esiste”
• Nei rimanenti casi, l’Utilità è finita (x,y,z)

Nota:

Se Dio non esiste, il fatto di credergli comporta una perdita “x“ dovuta al tempo, all’energia e alla fiducia persi inutilmente per il fatto di avergli creduto (Pascal cita testualmente: il credente non godrà di piaceri mondani, gloria e benessere materiale …)

Se Dio esiste, il fatto di NON credergli, comporta la dannazione e, quindi, una perdita.

Ora bisogna ricordare un concetto probabilistico fondamentale: “L’utilità TOTALE di una decisione è data dalla somma dei prodotti delle probabilità (p) per l’utilità che deriva da quella decisione (U)”.

Dunque bisogna fare un pò di moltiplicazioni:

• Nella 1^ riga (Credo) avremo:      (½ per Infinito) + (1/2 per x) = 0,5 (infinito + x) = infinito

• Nella 2^ riga (Non Credo):           (½ per y) + (1/2 per z) = 0,5 (y + z) = finito

Ok, abbiamo capito: Conviene credere in Dio.

Infatti, l’Utilità della prima riga è infinita, quindi sicuramente maggiore dell’Utilità finita della seconda riga.

Come avrete certamente notato, l’applicazione probabilistica trova conferma nei più disparati problemi della vita: da un semplice gioco, al sesso dei nostri figli, al calcolo dei premi assicurativi e, addirittura, alla probabilità della convenienza a credere in Dio.

Anche i Mercati Finanziari non resteranno immuni dai nostri calcoli e molto presto ci divertiremo in proposito. 

Al prossimo appuntamento. 

Francesco Caranti